Reglas de derivación - Reglas y fórmulas de derivación

Regla de la primera derivada: regla del factor o regla de la potencia

El objetivo de la regla del factor y de la potencia es derivar una función como y = ^x3, y = ^5x4 e y = 8x. La regla básica es: y = ^xz derivada y' = z - ^xz-1.

Instrucciones paso a paso:

• Paso 1: Escribe la función y = ....
• Paso 2: Escribe debajo la derivada y' = ....
• Paso 3: A continuación se escribe el exponente de y después de la derivada y' = ....
• Paso 4: Se escribe la x
• Paso 5: Para la derivada y' = ...., el exponente se reduce exactamente en uno (¡el factor siempre se mantiene!)

Ejemplo:

f (x) = y (x) = ^x3
f' (x) = y' (x) = ^3x2

Segunda regla de derivación: regla de la suma

La regla de la suma significa que la suma finita de varias funciones puede diferenciarse paso a paso. He aquí algunos ejemplos para ilustrarlo:

1er ejemplo:

f (x) = y (x) = ^{x4 x4}
f' (x) = y' (x) = ^{4x3 4x3}

2º ejemplo:

f (x) = y (x) = 5x ^8x2
f' (x) = y' (x) = 5 8 - 2 - x

3er ejemplo:

f (x) = y (x) = ^{2x4 11x5}
f' (x) = y' (x) = 2 - ^4x3 11 - 5 - ^x4

Tercera regla de derivación: regla del producto

La regla del producto sólo se utiliza si se tiene una función en forma de producto. La forma abreviada de la regla del producto es la siguiente:

f = y = a - b
f' = y' = a' - b' - a

Como resultado, la función puede dividirse en una parte a y otra b. A continuación se obtiene la parte afectada, resultando la derivada y' . Aquí tienes un ejemplo que te ayudará a entender la regla del producto.

Ejemplo:

y (x) = ( ^8x5 - 4x ) ( 6x )

a = ^8x5 - 4x
a' = ^40x4 - 4

b = 6x
b' = 6

y' (x) = a' - b b' - a
y' (x) = ( ^40x4 - 4 ) ( 6x ) ( 6 ) ( ^8x5 - 4x )

Cuarta regla de derivación: regla del cociente

La regla del cociente se utiliza siempre para derivar fracciones. La forma abreviada de esta regla es la siguiente:

y (x) = a : b

y' (x) = (a' - b - b' - a) : ^b2

El numerador se denomina a, mientras que el denominador se denomina b. Si a se deriva, ambos se derivan y se insertan en y'. A continuación se muestra un ejemplo de la regla del cociente:

y (x) = ^(3x5 8) : (2x 6)

a = ^3x5 8
a' = ^15x4

b = 2x 6
b' = 2

y' (x) = (a' - b - b' - a) : ^b2

y' (x) = (^(15x4) * (2x 6) - (2) * ^(3x5 8)) : (2x 6⁾²

Quinta regla de derivación: Uso de la regla de la cadena

Las funciones sencillas se pueden derivar relativamente bien utilizando las cuatro primeras reglas de derivación. Sin embargo, cuando se trata de funciones anidadas o compuestas, las cosas vuelven a ser diferentes. Por ejemplo, para derivar una función como y = ^e6x, es necesario utilizar la regla de la cadena o sustitución. Por tanto, debes recordar el siguiente principio:

Con la regla de la cadena, la derivada de una función encadenada o compuesta produce un producto. Éste se crea utilizando tanto la derivada interior como la exterior.

Para ilustrar exactamente cómo funciona la regla de la cadena, aquí tienes un ejemplo:

Ejemplo: Regla de la cadena

y = ( 4x - 7 )⁹

Instrucciones paso a paso:

• Paso 1: Sustitución con v = 4x - 7
• Paso 2: La función exterior con = ^v9
• Paso 3: La derivada exterior con = ^9v8
• Paso 4: La función interna con = 4x - 7
• 5º paso: La derivada interior con = 4
• 6º paso: y' = ^v9 - 4 = ^4v9
• 7º paso: v = 4x - 7 de aquí se deduce y' = 4 ( 4x - 7 )⁹